સંકલન intlimits_0^{frac{1}{2}} frac{ln(1 + 2x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + (2x)^2} dx$.$2x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$2 dx = \sec^2 	heta d	heta$,તેથી $dx = \frac{1

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{16} \ln 2$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int\limits_0^{1/2} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + (2x)^2} dx$.$2x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$2 dx = \sec^2 	heta d	heta$,તેથી $dx = \frac{1}{2} \sec^2 	heta d	heta$.જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $	heta = 0$. જ્યારે $x = 1/2$,ત્યારે $	heta = \pi/4$.આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:$I = \int\limits_0^{\pi/4} \frac{\ln(1 + 	an 	heta)}{1 + 	an^2 	heta} \cdot \frac{1}{2} \sec^2 	heta d	heta$$1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$ હોવાથી,પદ સાદું રૂપ પામશે:$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an 	heta) d	heta$  --- $(1)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an(\pi/4 - 	heta)) d	heta$$	an(A-B) = \frac{	an A - 	an B}{1 + 	an A 	an B}$ સૂત્ર વાપરતા:$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(1 + \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}ight) d	heta$$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(\frac{1 + 	an 	heta + 1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}ight) d	heta = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln\left(\frac{2}{1 + 	an 	heta}ight) d	heta$$I = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} (\ln 2 - \ln(1 + 	an 	heta)) d	heta$$I = \frac{1}{2} \ln 2 \cdot [	heta]_0^{\pi/4} - \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} \ln(1 + 	an 	heta) d	heta$$I = \frac{1}{2} \ln 2 \cdot \frac{\pi}{4} - I$$2I = \frac{\pi}{8} \ln 2 \implies I = \frac{\pi}{16} \ln 2$.

સંકલન $\int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} dx$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $f$ એક ધન વિધેય છે. ધારો કે $I_1 = \int_{1 - k}^k x f\{x(1 - x)\} dx$ અને $I_2 = \int_{1 - k}^k f\{x(1 - x)\} dx$,જ્યાં $2k - 1 > 0$ છે. તો $I_1/I_2$ શું થાય?

$m \neq n$ $(m, n \in I)$ માટે સંકલન $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx$ ની કિંમત શું છે?

જો $I_1 = \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}} {\cos ^2}x\,dx$,$I_2 = \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}} {\cos ^2}x\,dx$ અને $I_3 = \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}} dx$ હોય; તો

$\int_0^{\pi /2} \frac{d\theta}{1 + \tan \theta} = $

$\int\limits_a^b [x] \,dx + \int\limits_a^b [-x] \,dx$,જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તે કોના બરાબર છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module